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DE TOUS LES ORDRES.

points fixes de la ligne du 3.^e ordre seront les quatre points communs à toutes les lignes du second ordre auxquelles les changements de direction des diamètres conjugués arbitraires pourront donner naissance.

Démonstration. Soient pris pour origine le centre de la ligne du second ordre, pour axe des $x$ le diamètre de cette courbe tangent à la ligne de l’ordre $m,$ et pour axe des $y$ le conjugué de ce diamètre.

Pour que l’axe des $x$ soit une tangente à une courbe ayant son point de contact à l’origine, il est nécessaire et il suffit que l’équation de cette courbe ne renferme ni le terme tout connu ni le terme du premier degré en $x$ ; afin qu’en $y$ posant $y=0,$ elle devienne divisible par $x^{2}$. Ainsi, d’après les conventions énoncées ci-dessus, l’équation de notre ligne de l’ordre $m$ ne saurait être que de la forme suivante :

$\left.{\begin{aligned}ax^{m}&\\+(a'+b'y)x^{m-1}&\\+\left(a''+b''y+c''y^{2}\right)x^{m-2}&\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\\+\left(p''+q''y+r''y^{2}+\ldots +t''y^{m-2}\right)x^{2}&\\+\left(q'y+r'y^{2}+s'y^{3}+\ldots \ldots +u'y^{m-1}\right)x\ \ &\\+\left(y+ry^{2}+sy^{3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots +vy^{m}\right)\quad &\\\end{aligned}}\right\}=0.\quad (1)$

En y faisant $y=0,$ et divisant par $x^{2}$ l’équation résultante

$ax^{m-2}+a'x^{m-3}+a''x^{m-4}+\ldots +p''=0\qquad$(2)

sera celle des parallèles menées à l’axe des $y,$ par les $m-2$ points où la tangente à l’origine, c’est-à-dire, l’axe des $x$, coupe la courbe (1).