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THÉORÈMES D’ALGÈBRE.

$(1+x)^{m}=1+m{\frac {x}{1}}+m(m-1){\frac {x^{2}}{1.2}}+m(m-1)(m-2){\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

égalant donc entre elles ces deux valeurs, en supprimant l’unité de part et d’autre, et divisant par $m,$ il viendra

$\operatorname {l} (1+x)+{\frac {m\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots$

$={\frac {x}{1}}+(m-1){\frac {x^{2}}{1.2}}+(m-1)(m-2){\frac {x^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

faisant enfin, dans cette dernière équation, $m=0,$ on aura

$\operatorname {l} (1+x)={\frac {x}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\ldots$

formule qui donne le logarithme népérien de $1+x,$ en fonction du nombre $x.$

Ceux qui désireront de plus amples détails sur ce sujet pourront consulter nos Mélanges d’analise algébrique et de géométrie (veuve Courcier, Paris, 1815).

Dans un prochain article, nous nous occuperons du développement des fonctions circulaires en séries.