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D’ALGÈBRE.

la formule du binome se trouve donc ainsi démontrée, quel que soit l’exposant $m.$

Si, dans la même équation, on suppose $k=0,\ a=1,\ z=1,\ m=Ax,$ elle deviendra

$\left(1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1.2}}+{\frac {1}{1.2.3}}+\ldots \right)^{Ax}=1+{\frac {Ax}{1}}+{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

La série du premier membre est, comme l’on sait, un nombre incommensurable^[1], compris entre $2$ et $3\,:$ c’est la base du système de logarithmes népériens ; en le représentant par $e,$ suivant l’usage, on aura

$e^{Ax}=1+{\frac {Ax}{1}}+{\frac {A^{2}x^{2}}{1.2}}+{\frac {A^{3}x^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

Si l’on fait $e^{A}=a,$ auquel cas $A$ sera le logarithme népérien de $a,$ on aura

$a^{x}=1+{\frac {x\operatorname {l} a}{1}}+{\frac {x^{2}\operatorname {l} ^{2}a}{1.2}}+{\frac {x^{3}\operatorname {l} ^{3}a}{1.2.3}}+\ldots$

formule qui donne le développement des exponentiels en séries ou, ce qui revient au même, le développement d’un nombre $a,$ en fonction de son logarithme.

Si, dans cette dernière formule, on change $x$ en $m$ et $a$ en $1+x,$ elle deviendra

$(1+x)^{m}=1+{\frac {m\operatorname {l} (1+x)}{1}}+{\frac {m^{2}\operatorname {l} ^{2}(1+x)}{1.2}}+{\frac {m^{3}\operatorname {l} ^{3}(1+x)}{1.2.3}}+\ldots$

mais on a, d’un autre côté,

1. Voyez la page 50 du présent volume.