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D’ALGÈBRE.

comme nous l’avions annoncé. Il est donc prouvé, par ce qui précède, que, si la loi dont il s’agit se soutient jusqu’à un terme quelconque du produit, elle aura lieu également pour le terme qui le suivra immédiatement ; puis donc que nous nous sommes assurés de son existence pour les quatre premiers termes, il s’ensuit qu’elle a lieu pour tous, et qu’ainsi le théorème est démontré en toute rigueur.

Pour abréger, désignons par $\operatorname {f} a$ notre première série, c’est-à-dire, posons

$\operatorname {f} a=1+a{\frac {z}{1}}+a(a+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+a(a+k)(a+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

nous aurons pareillement

$\operatorname {f} b=1+b{\frac {z}{1}}+b(b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+b(b+k)(b+2k){\frac {z^{3}}{1.2.3}}+\ldots$

et encore

$\operatorname {f} (a+b)=1+(a+b){\frac {z}{1}}+(a+b)(a+b+k){\frac {z^{2}}{1.2}}+\ldots \,;$

en conséquence, le théorème qui vient d’être démontré pourra être écrit sous cette forme très-simple

$\operatorname {f} a.\operatorname {f} b=\operatorname {f} (a+b).\qquad$(I)

On remarquera que, d’après cette notation, on doit évidemment avoir $\operatorname {f} 0=1.$

Si dans l’équation (I) on change $b$ en $b+c,$ elle deviendra

$\operatorname {f} a.\operatorname {f} (b+c)=\operatorname {f} (a+b+c)\,;$

mais, en vertu de là même équation

$\operatorname {f} (b+c)=\operatorname {f} b.\operatorname {f} c\,;$

substituant donc, on aura