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RÉSOLUES.

Au surplus, il me semble que le théorème serait encore assez important quand on lui imposerait pour limite ou condition de vérité la réalité des racines de l’équation $X'=0\,;$ car je crois qu’on pourrait traiter $X'=0$ comme la proposée, par le moyen de $X''=0,$ et ainsi de suite ; et recueillir de l’ensemble des résultats les caractères de réalité des racines de la proposée ; cette voie serait encore plus courte que celle que propose Lagrange, d’après de Gua, dans la note VIII de la Résolution des équations numériques^[1].

$\left\{(x+8)^{2}+5814\right\}\left\{(x-8)^{2}+1970\right\}=y,\qquad (\mathrm {X} =y)$

sont donc

$x=4,\qquad x=-2\pm 16{\sqrt {-15}},$

d’où l’on conclura, pour les ordonnées des mêmes sommets

$y=11832588,\qquad y=-2636100\pm {\sqrt {-15}}\,;$

l’équation $(\mathrm {Y} =0)$ sera donc ici

$\left(y+2636100+983040{\sqrt {-15}}\right)\left(y+2636100-983040{\sqrt {-15}}\right)(y-11832588)=0$

ou

$\left(y^{2}+5272200y+21444537834000\right)(y-11832588)=0\,;$

ou enfin

$\left.{\begin{aligned}+y^{3}&\\-6560388y^{2}&\\-40939232619600y\ \ &\\-253744381040134392000\quad &\\\end{aligned}}\right\}=0\,;\qquad (\mathrm {Y} =0)$

équation qui répond à la troisième des quatre formes du texte, et d’où, par l’application du théorème, on se trouverait faussement induit à conclure que la proposée a ses quatre racines réelles.

Il demeure donc avéré que le théorème dont il s’agit ici ne saurait même se soutenir au-delà du troisième degré.

1. Malheureusement il demeure établi par la discussion à laquelle s’est livré M. Tédenat, dans le précédent article, que, même avec cette limitation, le théorème ne saurait être admis au-delà du quatrième degré.