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QUESTIONS

Soit $\mathrm {X} =0$ une équation en $\mathrm {x}$ d’un degré quelconque $\mathrm {m,}$ et soit $\mathrm {X'} =0$ sa dérivée. Si, entre $\mathrm {X} =y$ et $\mathrm {X} '=0,$ on élimine $\mathrm {x} ,$ on parviendra à une équation $\mathrm {Y} =0$ en $\mathrm {y,}$ dont le degré sera $\mathrm {m-1} \,;$ soient $\mathrm {v}$ et $\mathrm {p,}$ respectivement, le nombre de ses variations et celui de ses permanences ; ce qui donnera $\mathrm {y+p=m-1} .$

Si la proposée $\mathrm {X} =0$ est de degré impair, le nombre de ses racines imaginaires sera

$\pm (v-p)\,;$

et si, au contraire, elle est d’un degré pair, le nombre de ses racines imaginaires sera

$\pm (v-p+1).$

Cela posé, soit l’équation du cinquième degré,

$x^{5}-5x^{4}-290x^{3}+890x^{2}+25025x-25621=0,\qquad (\mathrm {X} =0)$

elle peut être mise successivement sous les diverses formes que voici :

$(x-1)\left(x^{4}-4x^{3}-294x^{2}+596x+25621\right)=0,$

$(x-1)\left(x^{2}-2x-149+6{\sqrt {-95}}\right)\left(x^{2}-2x-149-6{\sqrt {-95}}\right)=0\,;$

$(x-1)\left\{x-1+{\sqrt {150+6{\sqrt {-95}}}}\right\}\left\{x-1+{\sqrt {150-6{\sqrt {-95}}}}\right\}\times$

$\left\{x-1-{\sqrt {150+6{\sqrt {-95}}}}\right\}\left\{x-1-{\sqrt {150-6{\sqrt {-95}}}}\right\}\,;$

ainsi, elle a bien incontestablement une seule racine réelle et quatre racines imaginaires. Appllquons-lui le procédé indiqué dans l’énoncé du théorème en discussion.

Sa dérivée est

$5x^{4}-20x^{3}-870x^{2}+1780x+25025=0,$

ou, en simplifiant,

$x^{4}-4x^{3}-174x^{2}+356x+5005=0\,;\qquad (\mathrm {X} '=0)$

équation qui revient à