Ainsi ; on pourra facilement construire le point duquel menant des normales à la parabole, les abscisses de leurs pieds seront les trois racines de l’équation (12).
Suivant que ce point tombera dans l’angle formé par les deux branches de la développée, ou sur l’une de ces deux branches ou hors de cet angle, l’équation (12) aura ses trois racines réelles et inégales ou deux racines égales ou enfin une seule racine réelle. En substituant les valeurs (13) dans les inégalités (3, 4) et dans l’équation (5), on trouve d’ailleurs, en transposant
conformément aux théories connues.
Une fois le point de départ des normales déterminé, si l’on veut connaître à peu près les valeurs et les signes des racines, il faudra mener ces normales, et déterminer les abscisses de leurs pieds qui seront les racines cherchées. Ces normales seront faciles à tracer par tâtonnement, puisqu’il ne s’agira que de chercher à décrire de leur point de départ, comme centre commun, des arcs de cercles tangens à la parabole ; leurs points de contact seront les pieds des normales. S’il arrivait que l’un d’eux touchât et coupât à la fois la courbe, l’équation (12) aurait deux racines égales ; et il n’y aurait plus qu’une seconde normale à chercher. Au surplus, si la développée était tracée, en remarquant que les normales cherchées doivent lui être tangentes, on lèverait tout-à-fait l’espèce d’incertitude qui pourrait rester sur le point de contact de la parabole avec chaque arc de cercle[1].
- ↑ On pourra aussi mener ces normales par le procédé direct de l’avant-dernière note.
