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ÉQUATION NUMÉRIQUE

x^{3}+4c(2c-b)x-8c^{2}a=0\,;\qquad

(11)

qui fera connaître les abscisses des pieds des normales^[1].

Cette équation étant du troisième degré et sans second terme, on peut la comparer à l’équation générale

x^{3}+px+q=0\,;\qquad

(12)

ce qui donne

4c(2c-b)=p,\qquad -8c^{2}a=q\,;

d’où on tire

équation d’un cercle qui passe par l’origine, c’est-à-dire, par le sommet de la courbe, et dont le centre est donné par les deux équations

x={\frac {1}{4}},\qquad y=c+{\frac {1}{2}}b.

Cette solution est exactement celle qu’a donnée M. Bérard, dans ses Opuscules mathématiques, page 109, et à laquelle il est parvenu d’une manière un peu différente.

↑ De ce que cette équation est sans second terme il en résulte que les trois normales partant d’un même point du plan d’une parabole ne sauraient jamais se terminer d’un même côté de son axe, et que la somme des distances à l’axe des pieds des normales qui tombent d’un même côté de cet axe est égale à la distance à l’axe du pied de la troisième normale. On pourra donc, avec la règle et le compas seulement, résoudre ce problème : Étant données deux normales à une parabole, mener, par leur point de concours, une troisième normale à la courbe ? Si deux des normales se confondent, auquel cas elles doivent être tangentes à la développée, la distance de leur pied à l’axe sera moitié de la distance de la troisième au même axe ; ce qui fournit un moyen simple de résoudre ce problème : Étant donnée une normale à la parabole, trouver en quel point elle coupe la développée de cette courbe ? développée que l’on suppose d’ailleurs n’être point encore tracée. On a donc ainsi une méthode fort simple pour déterminer rigoureusement tant de points qu’on voudra de la développée d’une parabole donnée, ainsi que la tangente à cette développée en chacun de ces points.

[1] De ce que cette équation est sans second terme il en résulte que les trois normales partant d’un même point du plan d’une parabole ne sauraient jamais se terminer d’un même côté de son axe, et que la somme des distances à l’axe des pieds des normales qui tombent d’un même côté de cet axe est égale à la distance à l’axe du pied de la troisième normale. On pourra donc, avec la règle et le compas seulement, résoudre ce problème : Étant données deux normales à une parabole, mener, par leur point de concours, une troisième normale à la courbe ? Si deux des normales se confondent, auquel cas elles doivent être tangentes à la développée, la distance de leur pied à l’axe sera moitié de la distance de la troisième au même axe ; ce qui fournit un moyen simple de résoudre ce problème : Étant donnée une normale à la parabole, trouver en quel point elle coupe la développée de cette courbe ? développée que l’on suppose d’ailleurs n’être point encore tracée. On a donc ainsi une méthode fort simple pour déterminer rigoureusement tant de points qu’on voudra de la développée d’une parabole donnée, ainsi que la tangente à cette développée en chacun de ces points.

[1]