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DU TROISIÈME DEGRÉ.

sont sous les radicaux cubes, et qui sont propres, par leur addition, à donner une quantité réelle, en désignant par $\alpha$ l’une quelconque des deux racines cubiques imaginaires de l’unité ; les deux autres racines de la proposée seront

$\alpha a+\alpha ^{2}b,\qquad \alpha ^{2}a+\alpha b.$

En mettant pour $\alpha$ sa valeur, ces deux racines prendront la forme

$-{\frac {a+b}{2}}+{\frac {a-b}{2}}{\sqrt {-3}},\qquad -{\frac {a+b}{2}}-{\frac {a-b}{2}}{\sqrt {-3}}\,;$

mais $a+b$ est supposé une racine réelle de la proposée ; et nous avons vu ci-dessus que

$a-b={\sqrt {x^{2}+{\frac {4}{3}}p}}\,;$

en représentant donc par $r$ la racine déjà supposée réelle, on aura

$a-b={\sqrt {r^{2}+{\frac {3}{4}}p}}\,;$

mais on a vu plus haut que

$\left(x^{2}+{\frac {p}{3}}\right)^{2}\left(x^{2}+{\frac {4}{3}}p\right)=4\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)$

donc

${\sqrt {x^{2}+{\frac {4}{3}}p}}={\frac {2{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}{x^{2}+{\frac {p}{3}}}}.$

Ainsi, l’une des racines étant $r,$ les deux autres, seront données par la formule

$-{\frac {r}{2}}\pm {\frac {\sqrt {-3\left({\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}\right)}}{r^{2}+{\frac {p}{3}}}}\,;$

et par conséquent elles seront toutes trois réelles.

Si l’on veut avoir une idée bien nette du cas irréductible, on observera que la quantité qui est sous le radical quarré, et qui est égale à