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DU TROISIÈME DEGRÉ.

Pour résoudre cette équation, nous partirons d’un principe fort simple, et qui consiste en ce que la somme de deux cubes se compose du double du cube de la demi-somme de leurs racines et du triple de la somme de ces mêmes racines, multiplié par le quarré de leur demi-différence ; ce qui résulte évidemment de l’équation

$(a+b)^{3}+(a-b)^{3}=2a^{3}+6ab^{2}.$

Cela posé, si l’on fait passer le terme tout connu du premier membre dans le second, on aura

$x^{3}+px=-q$

Or, le premier membre de cette équation étant composé de deux parties, on peut faire en sorte qu’il devienne la somme de deux cubes ; c’est ce qu’on voit aisément, car on a

$x^{3}+px=2{\frac {x^{3}}{8}}+6{\frac {x^{3}}{8}}+px=2\left({\frac {x}{2}}\right)^{3}+6{\frac {x}{2}}\left\{{\frac {x^{2}}{4}}+{\frac {p}{3}}\right\}$

or, le dernier membre de cette double égalité est, d’après ce qui précède, égal à la somme de deux cubes ; et, comme le premier est d’ailleurs égal à $-q,$ on aura, en formant les deux cubes,

$\left\{{\frac {x+{\sqrt {x^{2}+{\frac {4}{3}}p}}}{2}}\right\}^{3}+\left\{{\frac {x-{\sqrt {x^{2}+{\frac {4}{3}}p}}}{2}}\right\}^{3}=-q.$

Mais, le premier cube du premier membre de cette dernière équation étant égal à

${\frac {x^{3}+px}{2}}+{\frac {1}{2}}\left\{x^{2}+{\frac {p}{3}}\right\}{\sqrt {x^{2}+{\frac {4}{3}}p}},$

sera aussi égale à

${\frac {x^{3}+px}{2}}+{\sqrt {\left(x^{2}+{\frac {p}{3}}\right)^{2}\left(x^{2}+{\frac {4}{3}}p\right)}}.$

D’ailleurs, la partie rationnelle est égale à $-{\frac {q}{2}},$ et la quantité, sous le radical, revient à