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ET DES SURFACES COURBES.

équation qui donnera rigoureusement pour la surface (1) les valeurs des deux rayons de courbure principaux qui répondent à l’origine, puisque $(x',y',z')$ ayant disparu, peuvent être supposés tout à fait nuls.

$R$ étant déterminé, par cette équation, on tirera des équations (50, 52)

$x={\frac {AR}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}},\ y={\frac {BR}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\ z={\frac {CR}{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\;$(58)

qui seront les coordonnées du centre de courbure. Quant aux plans des deux sections principales on en obtiendra la double équation, en introduisant dans (49) les valeurs (56), et y mettant ensuite pour ${\frac {z}{C}}$ la valeur (55) ; cela donne, toutes réductions faites,

$\left.{\begin{aligned}&\left\{{\begin{aligned}&\left[B(DE-2FK)+C(FD-2EH)-A\left(D^{2}-4HK\right)\right]R\\\pm &\left[(BF+CE)-2A(H+K)\right]{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\end{aligned}}\right\}(Bz-Cy)\\\\+&\left\{{\begin{aligned}&\left[C(EF-2DG)+A(DE-2FK)-B\left(E^{2}-4KG\right)\right]R\\\pm &\left[(CD+AF)-2B(K+G)\right]{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\end{aligned}}\right\}(Cx-Az)\\\\+&\left\{{\begin{aligned}&\left[A(FD-2EH)+B(EF-2DG)-C\left(F^{2}-4GH\right)\right]R\\\pm &\left[(AE+BD)-2C(G+H)\right]{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2}}}\end{aligned}}\right\}(Ay-Bx)\\\end{aligned}}\right\}=0.\;$(59)

S’agit-il présentement de déterminer, pour un point quelconque $(x',y',z')$ d’une surface quelconque, les centres et rayons de courbure et les plans des sections principales, on changera respectivement $x,y,z$ en $x'+x,\ y'+y,$$z'+z\,;$ on développera, en arrêtant le développement aux termes de deux dimensions en $x,y,z$ inclusivement ; on égalera a zéro l’ensemble des termes indépen-