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ET DES SURFACES COURBES.

et, dans les mêmes circonstances, l’équation de condition tendra à se réduire à $Cz'=0$ ou $z'=0\,;$ donc à mesure que le point $(x',y',z')$ tendra à devenir l’origine, les deux plans tangens en ce point et à l’origine tendront à se couper suivant une droite ayant pour équation

$Gx'x+Hy'y=0\,;\qquad$(40)

mais en même temps la droite joignant ces deux points fendra continuellement vers sa projection sur le plan des $xy,$ c’est-à-dire ; vers la droite, ayant pour équation

$x'y-y'x=0,\qquad$(41)

désignant donc par $p$ et $q$ les angles de ces deux droites avec l’axe des $x$ on aura

$\operatorname {Tang} .p=-{\frac {Gx'}{Hy'}},\qquad \operatorname {Tang} .q=+{\frac {y'}{x'}},\qquad$(42)

d’où

$G+H\operatorname {Tang} .p\operatorname {Tang} .q=0\,;$

ou (34)

$b+a\operatorname {Tang} .p\operatorname {Tang} .q=0\,;\qquad$(43)

relation entre deux tangentes conjuguées.

Ainsi, deux points marchant l’un vers l’autre sur une surface courbe, la sécante qui joint ces deux points et l’intersection des plans tangens dont ils sont les points de contact tendent sans cesse à devenir deux tangentes conjuguées, et le deviennent en effet lorsqu’enfin ces deux points se confondent, quelle que puisse être d’ailleurs, sur la surface courbe, la route suivie par l’un d’eux pour joindre l’autre. Cette remarque est encore de M. Dupin.