Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/184

178

COURBURE DES LIGNES

$\left.{\begin{aligned}0=Cz+(D\operatorname {Sin} .p+E\operatorname {Cos} .p)tz+Kz^{2}+\ldots &\\+\left(G\operatorname {Cos} .^{2}p+H\operatorname {Sin} .^{2}p+F\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)t^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}\quad$(27)

telle est donc l’équation de la section faite dans la surface (24) par un plan normal $tz,$ faisant avec le plan des $tx$ un angle quelconque $p.$

En comparant cette équation (27) aux formules (24, 25) du premier § de la présente section, on aura pour le rayon $r$ de courbure de cette courbe à l’origine,

$r={\frac {C}{2\left(G\operatorname {Cos} .^{2}p+H\operatorname {Sin} .^{2}p+F\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)}}.\qquad$(28)

Si l’on fait varier la valeur de $p,$ celle de $r$ variera aussi ; afin donc de savoir comment ces deux variables sont liées entre elles, concevons que, pour chaque position du plan normal, on porte sur la tangente correspondante, dont l’équation est

$y\operatorname {Cos} .p-x\operatorname {Sin} .p=0,\qquad$(29)

de part et d’autre du point de contact, des parties proportionnelles à la racine quarrée de $r,$ c’est-à-dire, des parties moyennes proportionnelles entre, et une longueur constante et arbitraire $\lambda \,;$ et cherchons la courbe sur laquelle les points ainsi déterminés se trouveront situés ; en désignant par $x,y$ les coordonnés de cette courbe, nous devrons avoir les deux équations

$x={\sqrt {\lambda r}}.\operatorname {Cos} .p,\qquad y={\sqrt {\lambda r}}.\operatorname {Sin} .p,\qquad$(30)

exprimant à la fois que le point $(x,y)$ est sur la tangente (29) et que sa distance au point de contact, c’est-à-dire, à l’origine est égale à ${\sqrt {\lambda r}}.$

Prenant donc, dans ces deux dernières équations, les valeurs de $\operatorname {Sin} .p,\ \operatorname {Cos} .p,$ pour les substituer dans la formule (28), nous aurons pour l’équation de la courbe demandée