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ET DES SURFACES COURBES.

Si, dans cette équation, nous faisons $u=0,$ l’équation résultante en $v$ et $x$ sera celle de l’intersection de la surface par le plan des $vx,$ c’est-à-dire, par un plan quelconque passant par la tangente $x,$ si nous laissons $p$ indéterminé. Cette équation est

$\left.{\begin{aligned}0=(C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p)v+(E\operatorname {Cos} .p-F\operatorname {Sin} .p)vx+Gx^{2}+\ldots &\\+\left(H\operatorname {Sin} .^{2}p+K\operatorname {Cos} .^{2}p-D\operatorname {Sin} .p\operatorname {Cos} .p\right)v^{2}+\ldots &\end{aligned}}\right\}$(17)

en la comparant aux formules (24, 25) du premier § de la présente section, et désignant par $r$ son rayon de courbure à l’origine nous aurons

$r={\frac {C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p}{2G}}.\qquad$(18)

Quant à son centre de courbure, ses équations seront évidemment

$x=0,\quad u=0,\quad v={\frac {C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p}{2G}}.\qquad$(19)

Mais des équations (15) on tire

$\left.{\begin{aligned}u=z\operatorname {Sin} .p+y\operatorname {Cos} .p,&\\v=z\operatorname {Cos} .p-y\operatorname {Sin} .p\,;&\end{aligned}}\right\}\quad$(20)

donc, en repassant au système primitif, on pourra dire que le centre de courbure, à l’origine, d’une section faite par un plan passant par l’axe des $x,$ supposé une tangente à la courbe, et faisant un angle quelconque $p$ avec le plan des $xz,$ est donné par les trois équations

$x=0,\ z\operatorname {Sin} .p+y\operatorname {Cos} .p=0,\ z\operatorname {Cos} .p-y\operatorname {Sin} .p={\tfrac {C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p}{2G}}\,;$ (21)

desquelles on tire

$x=0,\quad y=-{\tfrac {C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p}{2G}}\operatorname {Sin} .p,\quad z=+{\tfrac {C\operatorname {Cos} .p-B\operatorname {Sin} .p}{2G}}\operatorname {Cos} .p.\quad$(22)