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COURBURE DES LIGNES

Résolvant donc les équations (31, 33) par rapport à $x,y,z,$ en ayant égard aux relations (26, 27, 27′), nous aurons, pour les coordonnées du centre de courbure qui répond à l’origine

$\left.{\begin{aligned}&x=-{\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left\{b(CL'-C'L)-c(BL'-B'L)\right\}}{2\left\{(AL-A'L')(AL'-A'L)+(BL-B'L')(BL'-B'L)+(CL-C'L')(CL'-C'L)\right\}}}\\\\&y=-{\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left\{c(AL'-A'L)-a(CL'-C'L)\right\}}{2\left\{(AL-A'L')(AL'-A'L)+(BL-B'L')(BL'-B'L)+(CL-C'L')(CL'-C'L)\right\}}}\\\\&z=-{\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left\{a(BL'-B'L)-b(AL'-A'L)\right\}}{2\left\{(AL-A'L')(AL'-A'L)+(BL-B'L')(BL'-B'L)+(CL-C'L')(CL'-C'L)\right\}}}\end{aligned}}\right\}(34)$

or, en désignant par $R$ le rayon de courbure, on a

$R={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,;$

il viendra donc, en substituant, et ayant toujours égard aux relations (26)

$R={\frac {\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{\frac {3}{2}}\left\{(AL'-A'L)^{2}+(BL'-B'L)^{2}+(CL'-C'L)^{\frac {1}{2}}\right\}}{2\left\{(AL-A'L')(AL'-A'L)+(BL-B'L')(BL'-B'L)+(CL-C'L')(CL'-C'L)\right\}}}(35)$

Est-il question présentement d’avoir le centre et le rayon de courbure d’une courbe quelconque à double courbure, pour un point quelconque $(x',y',z')$ de cette courbe ; on changera, dans ces équations $x,y,z$ en $x'+x,$ $y'+y,$ $z'+z\,;$ on développera en supprimant les termes indépendans de $x,y,z,$ et négligeant ceux de plus de deux dimensions par rapport à ces variables ; comparant alors les équations transformées aux équations (1, 1′) ; et supposant qu’elles sont les mêmes, on en conclura les valeurs de $A,A',B,$ $B',C,C',\ldots$ et par suite (26, 27, 27′) celles de $a,b,c,L,L'\,;$ ces valeurs, substituées dans la formule (35), feront connaître la longueur du rayon de courbure ; en les substituant ensuite dans