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COURBURE DES LIGNES

${\begin{array}{lr}BC'-CB'=a,\quad CA'-AC'=b,\quad AB'-BA'=c,&(26)\\D\ bc+E\ ca+F\ ab+G\ a^{2}+H\ b^{2}+K\ c^{2}\ =L,&(27)\\D'bc+E'ca+F'ab+G'a^{2}+H'b^{2}+K'c^{2}=L',&(27')\\\end{array}}$

ce qui donnera

${\begin{array}{lr}A\ a+B\ b+C\ c\ =0,&(28)\\Aa'+Bb'+Cc'=0,&(28')\\\end{array}}$

on aura enfin, pour l’équation du plan osculateur de la courbe (1, 1′), à l’origine des coordonnées

$L'(Ax+By+Cz)=L(A'x+B'y+C'z),$

ou encore

$(AL'-LA')x+(BL'-LB')y+(CL'-LC')z=0.\qquad$(29)

On peut donc, à l’origine, considérer la courbe (1, 1′) comme une courbe plane située dans ce plan ; sa normale, pour le même point, sera donc l’intersection du même plan avec le plan normal (3) dont l’équation, au moyen des abréviations (26), devient

$ax+by+cz=0\,;\qquad$(30)

éliminant donc successivement $x,y,z$ entre les équations (29, 30), on pourra prendre pour équations de cette normale

${\frac {x}{b(CL'-LC')-c(BL'-LB')}}={\frac {y}{c(AL'-LA')-a(CL'-LC')}}$

${\frac {z}{a(BL'-LB')-b(AL'-LA')}}.\qquad$(31)