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COURBURE DES LIGNES

$\left.{\begin{aligned}0&=Ax+Dyz+Gx^{2}+\ldots \\&+By+Ezx+Hy^{2}+\ldots \\&+Cz+Fxy+Kz^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(1)

$\left.{\begin{aligned}0&=A'x+D'yz+G'x^{2}+\ldots \\&+B'y+E'zx+H'y^{2}+\ldots \\&+C'z+F'xy+K'z^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(1′)

d’une courbe à double courbure passant par l’origine des coordonnées ; et dont nous avons trouvé la tangente au même point donnée par les deux équations

$Ax+By+Cz=0,\qquad$(2)

$A'x+B'y+C'z=0,\qquad$(2′)

Par cette tangente et par un point quelconque $(x',y',z')$ pris sur la courbe, soit fait passer un plan, l’équation de ce plan sera évidemment

$(A'x'+B'y'+C'z')(Ax+By+Cz)=(Ax'+By'+Cz')(A'x+B'y+C'z).$(22)

En effet, il est d’abord évident que cette équation est celle d’un plan ; il n’est pas moins évident que ce plan contient la tangente à l’origine, puisque le système des équations (2, 2′) satisfait à l’équation (22) ; enfin, cette équation (22) est encore satisfaite par les valeurs $x',y',z'$ de $x,y,z$ ; ce qui prouve que le plan qu’elle exprime contient le point $(x',y',z').$

Or, comme ce point est sur la courbe (1, 1′), on doit avoir, comme nous l’avons déjà observé, dans la précédente section, les deux équations de condition