Concevons que, par la tangente en l’un des points d’une courbe à double courbure, et par un autre quelconque des points de cette courbe l’on conduise un plan, lequel sera tangent à la courbe au premier de ces deux points ; concevons que le dernier de ces deux points se rapproche peu à peu du premier, en suivant le cours de la courbe, et en entraînant avec lui le plan tangent, qui tournera ainsi sur la tangente. Lorsqu’enfin le dernier point aura atteint le premier, le plan tangent se trouvera avoir acquis une position déterminée très-remarquable, et dépendant uniquement de la courbure de la courbe au point de contact. C’est dans cette position qu’il est dit le plan osculateur de la courbe en ce point.
On voit par la génération du plan osculateur que, plus un arc de la courbe, pris à partir du point de contact, sera petit et plus aussi cet arc approchera de se confondre avec ce plan ; et conséquemment d’être un arc de courbe plane tracé sur le plan osculateur ; cet arc se confondra donc tout-à-fait avec ce plan, lorsque sa longueur sera nulle.
On est donc conduit par-là à considérer toute courbe à double courbure comme formée d’une infinité d’arcs de courbes planes, consécutivement tangens les uns aux autres, et situés dans des plans variant sans cesse de position. Les plans de ces arcs sont les plans osculateurs de la courbe en ses différens points. Il est évident, d’après cela, qu’une courbe plane n’a, pour tous ses points, qu’un seul et même plan osculateur, qui est le plan même de cette courbe.
Appliquons le calcul à la recherche du plan osculateur, suivant le mode de génération que nous lui avons assigné. Reprenons les deux équations générales
