Veut-on présentement avoir le centre et le rayon de courbure d’une courbe quelconque, en l’un quelconque de ses points ; on y transportera d’abord l’origine, en changeant respectivement, dans l’équation de cette courbe en on fera ensuite le développement des puissances et produits de puissances de ces deux binômes, dans lequel on pourra négliger d’ailleurs les termes de plus de deux dimensions en . Égalant ensuite à zéro l’ensemble des termes indépendans de ces deux variables, on aura l’équation de condition qui exprime que le point est sur la courbe ; le surplus de l’équation transformée se trouvant alors de même forme que l’équation (1), on égalera séparément, dans l’une et dans l’autre, les coefficiens des termes correspondans ; ce qui donnera les valeurs de en fonction de et des constantes renfermées dans l’équation de la courbe dont il s’agit. Ces valeurs étant enfin substituées dans les formules (17, 18), le centre et le rayon de courbure de la courbe pour le point se trouveront déterminés. Mais, comme le centre de courbure se trouvera rapporté aux nouveaux axes, il faudra, pour le rapporter aux axes primitifs, changer respectivement, dans ses équations, en
Appliquons ce procédé à l’ellipse déjà considérée précédemment, et ayant pour équation
Nous aurons d’abord
développant et posant, comme alors, la condition
il viendra
