ils parcourront aussi des courbes qui auront la même développée que la courbe donnée ; d’où l’on voit qu’à une même courbe donnée doivent toujours répondre une développée unique et une infinité de développantes.
En considérant sous ce point de vue la génération des courbes planes, on voit qu’en chaque point d’une courbe, le point décrivant se trouve dans le même cas que s’il allait décrire un cercle ayant pour centre le point de contact de la développée avec la normale au point dont il s’agit, et pour rayon la distance entre ces deux points. Ce cercle est ce qu’on appelle le cercle osculateur de la courbe en ce point : son centre et son rayon sont dits le centre et le rayon de courbure de cette courbe pour le même point ; parce qu’en effet la courbe a en ce point une courbure égale à celle de son cercle osculateur.
On est donc ainsi conduit à considérer toute courbe plane comme formée d’une infinité d’arcs de cercles infiniment petits se touchant consécutivement, et variant sans cesse de rayon ; auquel cas la développée est le lieu des centres de ces arcs. Cela revient encore à considérer la courbe proposée comme l’enveloppe de l’espace parcouru par un cercle mobile, de rayon variable, dont le centre parcourt sa développée et dont le rayon croit ou décroit constamment d’une quantité égale à la longueur parcourue sur cette dernière courbe par son centre.
Lorsqu’un cercle est simplement tangent à une courbe en l’un de ses points ; c’est-à-dire, lorsque le cercle et la courbe ont en ce point une même tangente, ce qui exige que ce cercle ait son centre sur la normale ; si d’ailleurs ils sont situés du même côté de cette tangente commune, ou, en d’autres termes, s’ils ont leurs courbures tournées dans le même sens ; le cercle passera entre la courbe et sa tangente, ou bien ce sera au contraire la courbe qui passera entre lui et cette tangente, suivant que la courbure de cette courbe, en ce point, sera plus grande ou plus petite que celle du cercle, c’est-à-dire, suivant que le rayon de courbure de
