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ET DES SURFACES COURBES.

${\frac {x'(x-x')}{a^{2}}}+{\frac {y'(y-y')}{b^{2}}}+{\frac {z'(z-z')}{c^{2}}}=0\,;$

ou simplement, en vertu de la condition (4),

${\frac {x'x}{a^{2}}}+{\frac {y'y}{b^{2}}}+{\frac {z'z}{c^{2}}}=1.\qquad$(6)

on en conclura (3) ; pour les équations de la normale, par le même point

$a^{2}{\frac {x-x'}{x'}}=b^{2}{\frac {y-y'}{y'}}=c^{2}{\frac {z-z'}{z'}}.\qquad$(7)

On voit, par ce qui précède, que, si les équations de deux surfaces, passant l’une et l’autre par l’origine, se ressemblent seulement par les termes du premier ordre, quelque différence qu’elles puissent présenter d’ailleurs, ces deux surfaces auront en ce point le même plan tangent et la même normale. Il n’est pas même nécessaire pour cela que les deux équations se ressemblent exactement dans leurs premiers termes ; car, soient (1, 1′) les équations dont il s’agit ; (2, 2′) seront respectivement les équations des plans tangens aux deux surfaces ; et pour que ses plans se confondent, il suffira qu’on ait

${\frac {A}{a}}={\frac {B}{b}}={\frac {C}{c}}.\qquad$(8)

Deux surfaces courbes qui ont un même plan tangent en un même point sont dites elles-mêmes tangentes l’une à l’autre en ce point ; et il en est de même pour les courbes résultant de leur section par un même plan quelconque conduit par ce point. On voit donc qu’une infinité de surfaces différentes peuvent avoir le même plan tangent et la même normale au même point.