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COURBURE DES LIGNES

$\left.{\begin{aligned}0&=A'x+D'yz+G'x^{2}+\ldots \\&+B'y+E'zx+H'y^{2}+\ldots \\&+C'z+F'xy+K'z^{2}+\ldots \end{aligned}}\right\}\quad$(1′)

ou par toutes autres équations déduites d’une combinaison quelconque de ces deux-là. À la vérité, lorsque les seconds membres de ces équations seront des séries indéfinies, elles ne pourront être employées, avec sécurité, que pour des portions de la courbe assez voisines de l’origine pour que la petitesse de $x,y$ et $z$ rende les séries convergentes ; mais ce n’est justement que pour de telles portions de la courbe que nous nous proposons d’en faire usage.

Lorsqu’on ne considère donc que des points de la courbe très-voisins de l’origine, on peut, sans erreur sensible, négliger, dans les équations (1, 1′), les termes de plus d’une dimension en $x,y,z\,;$ d’où il suit que, plus la portion de courbe que l’on considérera, à partir de l’origine, sera petite, et plus aussi cette courbe approchera de se confondre avec la droite ayant pour équations

$Ax+By+Cz=0,\qquad$(2)

$A'x+B'y+C'z=0,\qquad$(2’)

elle se confondra donc rigoureusement à l’origine avec cette droite, qui en indiquera exactement alors la direction ; c’est donc une tangente à la courbe, en ce point.^[1]

1. En posant
   $x=ar,\quad y=br,\quad z=cr,\qquad (\alpha )$

   avec la condition

   $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1,\qquad (\beta )$

   qui donne