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COURBURE DES LIGNES

son équation peut toujours, soit immédiatement, soit, s’il est nécessaire, par le développement en série, être amenée à cette forme

$\left.{\begin{aligned}0&=Ax+Fxy+Gx^{2}+\ldots \\&+By\qquad \quad +Hy^{2}+\ldots \\\end{aligned}}\right\}\quad$^[1] (1)

À la vérité, lorsque le second membre de cette équation sera une série indéfinie, elle ne pourra être employée, avec sécurité, que pour des portions de la courbe assez voisines de l’origine pour que la petitesse de $x$ et de $y$ rende la série convergente ; mais ce n’est justement que pour de telles portions de la courbe que nous nous proposons d’en faire usage.

Lorsqu’on ne considère donc que des points de la courbe très-voisins de l’origine, on peut, sans erreur sensible, négliger, dans l’équation (1), les termes de plus d’une dimension en $x$ et $y\,;$ d’où il suit que, plus la portion de courbe que l’on considérera, à partir de l’origine, sera petite, et plus aussi cette courbe approchera de se confondre avec la droite ayant pour équation

$Ax+By=0\,;\qquad$(2)

la courbe se confondra donc rigoureusement à l’origine avec cette droite, qui en indiquera alors exactement la direction ; c’est donc une tangente à la courbe, en ce point.^[2]

1. Nous avons choisi les notations de manière à lier ce qui concerne les courbes planes avec ce qui est relatif aux courbes à double courbure et aux surfaces courbes.
2. Cette manière simple et naturelle de parvenir à la tangente paraît tout-à-fait conforme à l’idée qu’on doit se faire d’une telle droite. Si cependant quelques esprits pointilleux n’en étaient pas pleinement satisfaits, ils pourraient la remplacer par ce qui suit.

   Soit menée par l’origine une sécante à la courbe ; elle pourra généralement