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DES QUADRATURES.

En effet, supposez $n=12,$ dans le tableau d’équations (33) ; et vous aurez identiquement les treize équations relatives à ce cas, produites à la page 108 du volume côté. Il n’y a d’ailleurs aucune ressemblance entre la métaphysique du savant auteur et celle qui nous dirige ici ; mais ce n’est pas de cela qu’il s’agit présentement.

Nous devons faire observer que les équations (33) comportent un mode particulier de résolution très-expéditif, qui permet même d’arriver à des formules assez simples, pour exprimer les coefficiens $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$.

On élimine $\alpha$ des équations (33) en retranchant de chacune des $n$ premières, multipliée par $n^{2},$ celle qui la suit immédiatement. Or, cela revient évidemment à multiplier, terme à terme, et par ordre, les premiers membres des $n$ premières équations, respectivement, par la suite

$n^{2}-n^{2}=0,\ n^{2}-(n-1)^{2}=b,\ n^{2}-(n-2)^{2}=c,\ n^{2}-(n-3)^{2}=d,\ldots n^{2}-1,n^{2}\,;$

puis à donner à chaque résultat, pour second membre d’égalité, celui de l’équation correspondante, multiplié par $n^{2},$ et diminué ensuite de celui de l’équation immédiatement suivante. On obtient ainsi les $n$ équations sans $\alpha$

$\left.{\begin{array}{rl}b\beta \ \ \quad \qquad +c\gamma \ \ \qquad \quad +d\delta \ \ \qquad \quad +\ldots +{\frac {n^{2}\nu }{2}}&=n^{3}p,\\b\beta (n-1)^{2}+c\gamma (n-2)^{2}+d\delta (n-3)^{2}+\ldots \ldots \ldots &=n^{5}p',\\b\beta (n-1)^{4}+c\gamma (n-2)^{4}+d\delta (n-3)^{4}+\ldots \ldots \ldots &=n^{7}p'',\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \,;\\\end{array}}\right\}(35)$

où il faut faire

$p={\frac {2}{1.3}},\quad p'={\frac {2}{3.5}},\quad p''={\frac {2}{5.7}},\quad p'''={\frac {2}{7.9}},\ldots \,;$

ces coefficiens étant indépendans de $n.$