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DES QUADRATURES.

qui entrent dans $T,$ un nombre $n$ d’autres aires $T',T'',\ldots$ ; et par conséquent on portera l’approximation jusqu’aux différences de l’ordre $2n,$ inclusivement. Si le nombre des diviseurs $n',n'',\ldots$ est moindre que $n$, on pourra encore, avec les ordonnées de $T$ former un certain nombre d’aires auxiliaires qui donneront une approximation, mais d’un ordre moins élevé.

Ceux qui connaissent la méthode d’intégration que M. Dobenheim a publié dans sa Balistique (Strasbourg 1816) ; méthode que M. Kramp a exposée, avec des développemens importans qui lui appartiennent entièrement (Annales, tom. VI, pag. 281 et suiv.), trouveront sans doute qu’elle coïncide avec le procédé dont je viens de tracer l’esquisse.

Pour second exemple, j’applique la méthode à la série (21). En prenant $\omega$ pour unité, et en rejetant les différences de l’ordre $n+1$ et les suivantes ; par le théorème de Taylor, on a, sans difficulté,

$\left.{\begin{array}{rl}\operatorname {E} ^{n}\nu +\operatorname {E} ^{-n}\nu &=2\nu +2{\frac {n^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {n^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {n^{2n}}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\operatorname {E} ^{n-1}\nu +\operatorname {E} ^{-(n-1)}\nu &=2\nu +2{\frac {(n-1)^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {(n-1)^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {(n-1)^{2n}}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\operatorname {E} ^{2}\nu +\operatorname {E} ^{-2)}\nu &=2\nu +2{\frac {2^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {2^{4}}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {2^{2n}}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\operatorname {E} \nu +\operatorname {E} ^{-1)}\nu &=2\nu +2{\frac {1}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+2{\frac {1}{1.2.3.4}}.{\frac {\operatorname {d} ^{4}\nu }{\operatorname {d} a^{4}}}+\ldots \\&\qquad \qquad \qquad \qquad +2{\frac {1}{1.2\ldots 2n}}{\frac {\operatorname {d} ^{2n}\nu }{\operatorname {d} a^{2n}}},\\\nu &=\nu .\\\end{array}}\right\}(32)$

Ces équations, en nombre $n+1,$ multipliées respectivement par