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PROBLÈME

Je m’explique, par un premier exemple. Pour abréger, je mets la série (10) sous la forme

$Z=T+\alpha \omega ^{2}+\beta \omega ^{4}+\gamma \omega ^{6}+\ldots \qquad (31)$

Conservant les limites $\nu ,y$ de l’intégrale $Z,$ si je fais varier $\omega$ de manière qu’on ait respectivement $T',T'',\ldots$ au lieu de $T,$ quand $\omega$ devient $\omega ',\omega '',\ldots \,;$ j’aurai (31)

$Z=T'+\alpha \omega '^{2}+\beta \omega '^{4}+\gamma \omega '^{6}+\ldots ,$

$Z=T''+\alpha \omega ''^{2}+\beta \omega ''^{4}+\gamma \omega ''^{6}+\ldots ,$

$\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;$

dans lesquelles les coefficiens $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ qui ne dépendent que des limites, restent les mêmes que dans (31). Entre celles-ci, supposées en nombre $n,$ je détermine un pareil nombres $n$ de coefficiens de la suite $\alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots$ ; je les substitue dans (31) en regardant comme nuls ceux que je n’ai pas déterminés ; et j’ai pour $Z$ une approximation qui équivaut à celle qui résulterait de l’hypothèse que la différence $\Delta ^{2n+1}$ est nulle, ainsi que celles d’ordres plus élevés ; car le premier terme négligé dans (31) est celui du rang $n+1,$ en comptant les termes à partir de $T$ exclusivement ; or, ce terme est de la forme

$Q\omega ^{2(n+1)}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{2n+1}y}{\operatorname {d} x^{2n+1}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{2n+1}\nu }{\operatorname {d} x^{2n+2}}}\right\}\,;$

comme on le reconnaît à la simple inspection de la série (10).

Si l’intervalle $x-a$ est divisé en $2n$ parties égales, par exemple, avec les mêmes ordonnées qui ont servi à composer $T,$ on pourra former un certain nombre d’aires $T',T'',\ldots$ autrement partagées ; en prenant pour $\alpha ',\alpha '',\ldots$ respectivement, les multiples $n'\omega ,n''\omega ,\ldots n',n'',\ldots$ désignant des diviseurs de $2n.$ Si le nombre $2n$ a $n$ diviseurs, on formera, par le seul moyen des ordonnées.