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DES QUADRATURES.

On voit que, si l’on avait, dans une table, un grand nombre de coefficiens $A,B,C,$ dont les valeurs sont indépendantes du nombre $n,$ et qui se calculent facilement, au moyen de la formule (26), on obtiendrait rapidement les coefficiens $a,b,c,\ldots$ {29), au moyen des formules (28, 30), dans lesquelles tous les coefficiens dépendans de $n$ peuvent être pris dans une table des nombres figurés. On sait d’ailleurs qu’il n’y a réellement à calculer que la moitié, ou la simple majorité (si $n$ est impair) du nombre de ces coefficiens ; car, dans ce qui précède, l’origine des coordonnées étant placée au pied de l’ordonnée $y,$ on a considéré $\operatorname {E} \nu ,\operatorname {E} ^{2}\nu ,\operatorname {E} ^{3}\nu ,\ldots$ comme situés dans la région des coordonnées positives. Mais, si l’on transporte l’origine au pied de $y,$ et qu’on prenne pour ordonnées positives celles qui s’en éloignent successivement en s’approchant de $\nu ,$ ce qui est fort indifférent, les différences, et par conséquent l’aire $Z,$ qui reste la même, seront exprimées en $y,\operatorname {E} ^{-1}y,\operatorname {E} ^{-2}y,\ldots$ et $n,$ comme elles l’étaient précédemment en $\nu ,\operatorname {E} \nu ,\operatorname {E^{2}} \nu ,\ldots$ et $n$ ; donc les coefficiens des ordonnées $\left(\nu ,\operatorname {E} ^{n}\nu \right),\left(\operatorname {E} \nu ,\operatorname {E^{n-1}} \nu \right),\ldots$, c’est-à-dire des ordonnées également éloignées des extrêmes, sont égaux. Au reste, nous donnerons ci-dessous d’autres formules, pour calculer immédiatement les coefficiens des ordonnées équidistantes, dans l’expression finale de $Z.$

V. Une autre méthode, fondée sur cette observation que, dans les séries, expressions de $Z,$ comme dans celles des états variés, les différences et différentielles existent linéairement et de la même manière, et se rapportent exclusivement aux limites de l’aire, consiste à éliminer ces différences ou ces différentielles, entre plusieurs expressions de la même aire, où l’on a fait varier le nombre des coordonnées intermédiaires, ou bien, entre l’expression d’une aire et celles des coordonnées équidistantes. Cette élimination, entre équations du premier degré à plusieurs inconnues, exécutée par les procédés connus, n’introduit que linéairement, dans l’équation finale, les différens termes tous connus de l’équation employée.