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PROBLÈME

$\left.{\begin{array}{rr}\alpha =&A+B{\frac {n}{1}}+C{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}+\ldots +Nn,\\\beta =&1+A{\frac {n}{1}}+B{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}+\ldots +Mn,\\\gamma =&{\frac {n}{1}}+A{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}+\ldots +\ Ln,\\\delta =&+{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}+\,\ldots +Kn,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{array}}\right\}(28)$

expression dont la loi est évidente

On peut remarquer ici que la série (27), avec ses coefficiens (28) est au fond la même qu’une formule donnée par Lorgna dans les Mémoires de la société italienne (tom. I).

Il reste à développer, dans (27), les différences en états variés d’après la formule (24) ; et l’on obtient enfin

$Z=a\operatorname {E} ^{n}\nu +b\operatorname {E} ^{n-1}\nu +c\operatorname {E} ^{n-2}\nu +d\operatorname {E} ^{n-3}\nu +\ldots \qquad (29)$

équation dans laquelle il faudra faire

$\left.{\begin{array}{rl}a&=\alpha ,\\b&=\beta -{\frac {n}{1}}\alpha ,\\c&=\gamma -{\frac {n-1}{1}}\beta +{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}\alpha ,\\d&=\delta -{\frac {n-2}{1}}\gamma +{\frac {n-1}{1}}{\frac {n-2}{2}}\beta -{\frac {n}{1}}.{\frac {n-1}{2}}.{\frac {n-2}{3}}\alpha ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\\\end{array}}\right\}(30)$