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DES QUADRATURES.

II. Les séries (10, 14, 18) appartiennent à la classe de celles qui expriment l’intégrale $\int y\operatorname {d} x$ par le moyen de l’intégrale finie $\Sigma y$ et des différentielles successives $\operatorname {d} y,\operatorname {d} ^{2}y,\ldots .$ Il est bien facile d’en obtenir qui donnent $\int y\operatorname {d} x$ par les seules différentielles. En effet, en supposant encore $x-a=n\omega ,$ ou, plus simplement, $x-a=n,$ ce qui revient à prendre $\omega$ pour unité, on a, par le Théorème de Taylor,

$y=\operatorname {E} ^{n}\nu =\nu +{\frac {n}{1}}{\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} a}}+{\frac {n^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}\nu }{\operatorname {d} a^{3}}}+\ldots \,;$

regardant $n$ comme continue, multipliant par $\operatorname {d} n,$ puis intégrant par rapport à $n,$ entre les limites $0$ et $n,$ on obtient sur-le-champ

$Z=n\nu +{\frac {n^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} a}}+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\nu }{\operatorname {d} a^{2}}}+{\frac {n^{4}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}\nu }{\operatorname {d} a^{3}}}+\ldots \quad$(19)

Si, dans celle-ci, on change $a$ en $x,\ \nu$ en $y$ et $n$ en $-n,$ ce qui revient à prendre pour origine des $n$ le pied de l’ordonnée $y,$ et à passer de là à $\nu ,$ dans le sens des $n$ négatives, on verra facilement qu’on obtient, en valeur absolue, une aire égale à $Z,$ mais de signe contraire. Ainsi, on a cette autre série

$Z=ny-{\frac {n^{2}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+{\frac {n^{3}}{1.2.3}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}-{\frac {n^{4}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}+\ldots \quad$(20)

Cette dernière série est proprement celle qui porte le nom de Jean Bernouilli, qui la publia, dans les Acta eruditorum, dès l’année 1674.

En changeant simplement $n$ en $-n,$ dans (19), on a l’aire comprise entre $\nu$ et $\operatorname {E} ^{-n}\nu ,$ ou entre $\operatorname {F} a$ et $\operatorname {F} (a-n)\,;$ et, en retranchant le résultat de (19), on aura évidemment l’aire comprise entre $\operatorname {E} ^{n}\nu ,$ et $\operatorname {E} ^{-n}\nu ,$ ou entre $\operatorname {F} (a+n)$ et $\operatorname {F} (a-n)\,;$ ainsi, en désignant cette aire par $W,$ on a une troisième série