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PROBLÈME

$\int (s.\operatorname {Sin} .\theta )\operatorname {d} \theta =\int (\operatorname {d} s.\operatorname {Cos} .\theta )-s.\operatorname {Cos} .\theta =x-s.\operatorname {Cos} .\theta .$

Je substitue cette expression et la précédente (17) dans la série (15), et j’ai

${\frac {{\tfrac {1}{2}}\omega }{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\omega }}\Sigma \left[\Delta s.\operatorname {Cos} .\left(\theta +{\tfrac {1}{2}}\omega \right)\right]+\left(1-{\tfrac {1}{2}}\omega \right)s.\operatorname {Cos} .\theta =$

$x+{\frac {\omega ^{2}B_{1}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} (s.\operatorname {Sin} .\theta )}{\operatorname {d} \theta }}-{\frac {\omega ^{4}B_{2}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}(s.\operatorname {Sin} .\theta )}{\operatorname {d} \theta ^{3}}}+\ldots +K\,;$

d’où, en mettant au lieu de $1-{\tfrac {1}{2}}\omega .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\omega$ son développement (7), on tire sur-le-champ

$x={\frac {{\tfrac {1}{2}}\omega }{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\omega }}\Sigma \left[\Delta s.\operatorname {Cos} .\left(\theta +{\tfrac {1}{2}}\omega \right)\right]-{\frac {\omega ^{2}B_{1}}{1.2}}\left\{{\frac {\operatorname {d} (s.\operatorname {\operatorname {Sin} } .\theta )}{\operatorname {d} \theta }}-s.\operatorname {Cos} .\theta \right\}$

$+{\frac {\omega ^{4}B_{2}}{1.2.3.4}}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{3}(s.\operatorname {Sin} .\theta )}{\operatorname {d} \theta ^{3}}}+s.\operatorname {Cos} .\theta \right\}-\ldots +K.\qquad$(18)

En déterminant $K$ de manière que $x$ et l’intégrale commencent lorsque $\theta =\alpha ,$ et en faisant attention que nos ${\frac {B_{1}}{1.2}},\ {\frac {B_{2}}{1.2.3.4}}\ldots$ sont respectivement les mêmes choses que les $A^{0},B^{0},\ldots$ des Exercices, on verra la série (18) coïncider parfaitement avec celle de l’ouvrage cité (pag. 328). Quand on voudra avoir $y=\int (\operatorname {d} s.\operatorname {Sin} .\theta )$ il suffira de changer, dans (18), $x$ en $y,\ \theta$ en $90^{\circ }-\theta$ et $\omega$ en $-\omega$ ; ce qui est évident. Il est d’ailleurs visible que $\Sigma \left\{\Delta s.\operatorname {Cos} .\left(\theta +{\tfrac {1}{2}}\omega \right)\right\}$ est l’approximation fournie pour $x$, par l’ingénieuse méthode dont Euler donna l’idée dans ce fameux mémoire (Académie de Berlin, année 1753) qui depuis a tant occupé les auteurs de balistique ; c’est-à-dire que c’est l’expression de la somme des projections, sur l’axe des $x$, d’une suite d’arcs rectifiés, qui ont tous, entre leurs extrémités, même différence de courbure $\omega ,$ en prenant, pour angle de projection l’inclinaison moyenne de chaque arc.