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PROBLÈME

${\frac {1}{e^{{\frac {1}{2}}\omega }-e^{-{\frac {1}{2}}\omega }}}={\frac {1}{\omega }}-A\omega +B\omega ^{3}-C\omega ^{5}+\ldots \,;$

ou bien ceux de cet autre

${\frac {{\frac {1}{2}}\omega }{\operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\omega }}=1+A\omega ^{2}+B\omega ^{4}+C\omega ^{6}+\ldots$

Or, en mettant dans (13) $\nu$ pour $y,$ retranchant le résultat de (13), et ayant égard à (12), on a sur-le-champ, entre les limites $a$ et $x$,

$Z=R+\omega ^{2}A\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} \nu }{\operatorname {d} a}}\right)-\omega ^{4}B\left({\frac {\operatorname {d} ^{3}y}{\operatorname {d} x^{3}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}\nu }{\operatorname {d} a^{3}}}\right)$

$+\omega ^{6}C\left({\frac {\operatorname {d} ^{5}y}{\operatorname {d} x^{5}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{5}\nu }{\operatorname {d} a^{5}}}\right)-\ldots \quad$(14)

c’est là la série donnée dans les Exercices de calcul intégral, (III.^e part. pag. 311).

Dans l’esprit de la série (14), et immédiatement après, l’auteur de l’excellent ouvrage qu’on vient de citer se livre à la recherche de la formule propre à déterminer les coordonnées rectangulaires d’une courbe dont l’équation n’est donnée qu’entre l’arc et l’angle que celui-ci fait, à son extrémité, avec l’axe des $x\,:$ telle est, en particulier, l’équation de la courbe balistique, suivant la loi de Newton ; il arrive au but fort heureusement, mais par une route dont il ne dissimule pas les embarras ; car, parlant de son résultat, il dit : « L’état de simplicité où nous avons réduit cette formule fait présumer qu’il est possible d’y parvenir par une voie plus directe et moins laborieuse ; mais, sans nous arrêter à cette recherche … » (Ibid. pag. 327). On arrive en effet assez simplement à la formule dont il s’agit par le chemin que voici.

J’écris, dans la formule (6), $\theta$ au lieu de $x$, et $s.\operatorname {Sin} .\theta$ au lieu de $y$ ; après une légère transformation, on trouve

$\omega \left\{\Sigma (s.\operatorname {Sin} .\theta )+{\frac {1}{2}}s.\operatorname {Sin} .\theta \right\}=\omega \Sigma \left\{s.\operatorname {Sin} .\theta +{\frac {1}{2}}\Delta (s.\operatorname {Sin} .\theta )\right\}$

$=\int (s.\operatorname {Sin} .\theta )\operatorname {d} \theta +{\frac {\omega ^{2}B_{1}}{1.2}}{\frac {\operatorname {d} (s.\operatorname {Sin} .\theta )}{\operatorname {d} \theta }}$

$-{\frac {\omega ^{4}B_{2}}{1.2.3.4}}{\frac {\operatorname {d} ^{3}(s.\operatorname {Sin} .\theta )}{\operatorname {d} \theta ^{3}}}+\ldots +k.\quad$(15)