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PROBLÈME

que passive, une suite d’observations que je n’hésite point à communiquer au public. Ce sont des rapprochemens de ces méthodes, tant entre elles qu’avec celles que l’on connaissait antérieurement : ce sont des essais de perfectionnement dans leurs procédés techniques : ce sont enfin des aperçus théoriques, se rapportant à l’étendue et à l’efficacité des moyens approximatifs qu’elles fournissent. Il en résultera probablement de nouvelles discussions qui, en procurant de nouvelles lumières, rapprocheront de notre vue le terme de tant d’efforts ; je veux dire l’acquisition d’une méthode d’approximation qui ne laisse plus rien à désirer.

I. Les méthodes d’approximation sont ordinairement fondées sur les suites infinies. Or, on sait exprimer l’intégrale $\int y\operatorname {d} x,$ type général des quadratures, en séries de plusieurs formes : je commence par rappeler les principales, avec un précis de démonstration, pour me dispenser de renvoyer à d’autres ouvrages le lecteur qui ne croit point sur parole. J’emploie à cette fin les principaux théorèmes de l’analogie entre les puissances, les différences et les différentielles, théorèmes désormais assez connus, dans l’expression desquels j’admets la notation d’Arbogast (Calcul des dérivations) pour représenter l’état varié d’une fonction^[1]. Ainsi, l’accroissement de la variable $x$ étant supposé constant, et supposant

$y=\operatorname {F} x,\qquad \omega =\Delta x=\operatorname {d} x,$

on a les définitions et théorèmes suivans :

$\operatorname {E} ''y=\operatorname {F} (x+n\omega )=e^{d}y,\qquad$(1)

$\Delta y=\operatorname {E} y-y=(\operatorname {E} -1)y,\qquad$(2)

1. Consulter aussi sur ce sujet un précédent mémoire de M. Servois, tom. V, page 93.
   J. D. G.