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OSCILLATIONS ET ÉQUILIBRE

du genre de celles que l’on appelle irrationnelles, et qu’elles pourront s’intégrer en faisant

Pour la quatrième $z={\sqrt {\frac {1+\operatorname {Sin} .\nu }{1-\operatorname {Sin} .\nu }}},$

Et pour la cinquième $z={\sqrt {\frac {1+\operatorname {Cos} .\nu }{1-\operatorname {Cos} .\nu }}}\,;$

car on trouve ainsi

$r^{4}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Sin} .^{2}\nu ={\frac {2a'^{4}b'^{4}\left(z^{2}-1\right)^{2}\left(z^{2}+1\right)\operatorname {d} z}{\left\{a'^{2}\left(z^{2}-1\right)^{2}+4b'^{2}z^{2}\right\}^{2}}},$

$r^{4}\operatorname {d} \nu .\operatorname {Cos} .^{2}\nu =-{\frac {2a'^{4}b'^{4}\left(z^{2}-1\right)\left(z^{2}+1\right)\operatorname {d} z}{\left\{b'^{2}\left(z^{2}-1\right)^{2}+4a'^{2}z^{2}\right\}^{2}}}.$

Dans le cas d’un ellipsoïde de révolution autour de l’axe $\mathrm {C} ,$ on a $a=b,\ a'=b',\ r=a'\,;$ on trouve pour ce cas

${\frac {Pp}{\operatorname {Cos} .\alpha }}={\frac {a^{4}H^{2}(2c-H)^{2}\varpi }{4c^{4}}},\qquad {\frac {Pq}{\operatorname {Sin} .\alpha }}={\frac {a^{4}H^{2}(2c-H)^{2}\varpi }{4c^{4}}}\,;$

quantités indépendantes de l’angle $\alpha ,$ comme cela doit être, puisque l’on a $\xi =\theta \operatorname {Cos} .\alpha ,\ \psi =\theta \operatorname {Sin} .\alpha \,;$ c’est-à-dire que l’angle $\alpha$ est alors enveloppé dans les valeurs des constantes $\varepsilon _{1}$ et $\varepsilon _{2}.$ Il résulte de là que

$\xi =\varepsilon _{1}\operatorname {Cos} .\left\{t{\sqrt {{\frac {g\rho \varpi }{3MK^{2}}}\left[(a-H)^{3}+a^{2}(3H-a)\right](a-h)+{\frac {3H^{2}(2c-H)^{2}(a^{4}-c^{4})}{4c^{4}}}}}+\varepsilon '_{1}\right\}.$

Ce résultat convient également à $\psi ,$ en changeant seulement les constantes $\varepsilon _{2},$ et $\varepsilon '_{2}.$ On voit, par cette valeur de $\xi ,$ que le corps oscillera autour de sa position d’équilibre ; qu’il restera dans la position où on l’aura placé, ou enfin qu’il chavirera, suivant que $h$ sera plus petit que