Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/64

58

OSCILLATIONS ET ÉQUILIBRE

les coordonnées horizontales du centre de gravité du même segment, rapportées aux axes $\mathrm {O} x,\mathrm {O} y.$

De plus, il est aisé de démontrer (en se bornant toujours aux premières puissances de $\zeta ,\xi ,\psi$) que

$\int \operatorname {d} {\dot {\nu }}=A.\zeta \,;$

$A$ représentant la surface de la section du corps faite par le plan de flottaison, dans sa position d’équilibre. Donc, substituant ces dernières expressions dans les équations (11) et intégrant, on aura

$\left.{\begin{aligned}\zeta &=\varepsilon \operatorname {Cos} .\left({\frac {g\rho }{M}}.A+\varepsilon '\right),\\\\\xi &=\varepsilon _{1}\operatorname {Cos} .\left\{t{\sqrt {{\frac {g\rho }{MK^{2}}}\left(\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}+{\frac {Pp}{\operatorname {Cos} .\alpha }}\right)}}+\varepsilon '_{1}\right\},\\\\\psi &=\varepsilon _{2}\operatorname {Cos} .\left\{t{\sqrt {{\frac {g\rho }{MK^{2}}}\left(\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}+{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{Pq}}\right)}}+\varepsilon '_{2}\right\}\,;\\\end{aligned}}\right\}(12)$

$\varepsilon ,\varepsilon ',\varepsilon _{1},\varepsilon '_{1},\varepsilon _{2},\varepsilon '_{2}$ étant les constantes arbitraires.

Appliquons ces formules à l’ellipsoïde. Nous aurons d’abord

$A={\frac {\varpi ab}{c^{2}}}\left[c^{2}-(H-c)^{2}\right],$

$\Pi .{\overline {\mathrm {OG} }}={\frac {\varpi ab}{12c^{2}}}\left[6c^{2}H(H-2h)+(H-c)^{3}(h-3f-c)+(4h-c)c^{3}\right]\,;$

$a,b,c$ étant les trois axes de l’ellipsoïde, de manière à ce que l’axe $C$ soit vertical, dans la position d’équilibre.

Pour avoir $Pp$ et $Pq,$ supposons que la figure 4 représente le segment $\mathrm {ABC}$ de la figure 3. Soient $\mathrm {A} x'$ une tangente au point $\mathrm {A} \,;$ $m,n$ les coordonnées de ce point, rapportées aux axes $\mathrm {A} x,\mathrm {A} y$ qui sont ceux de la figure 3, transportés parallèlement à eux-mêmes ; $\beta$ l’angle que fait la tangente $\mathrm {A} x'$ avec l’axe des $x,$