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OSCILLATIONS ET ÉQUILIBRE

$\left.{\begin{aligned}M{\frac {\operatorname {d} ^{2}\zeta }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\rho \int \operatorname {d} {\dot {\nu }}&=0,\\\\MK^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\rho \int {\bar {x}}\operatorname {d} \nu &=0,\\\\MK'^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}\psi }{\operatorname {d} t^{2}}}+g\rho \int {\bar {y}}\operatorname {d} \nu &=0\,;\\\end{aligned}}\right\}\quad (11)$

$MK^{2}$ et $MK'^{2}$ désignant les momens d’inertie relatifs aux axes des $y$ et des $x\,;$ quant aux autres quantités, elles ont la même signification que dans les problèmes précédens. Tout se réduit ainsi à avoir les intégrales $\int \operatorname {d} \nu ,\ \int {\bar {x}}\operatorname {d} \nu ,\ \int {\bar {y}}\operatorname {d} \nu ,$ étendues à toute la partie du corps plongée dans le fluide.

Les moyens qui se présentent ici pour avoir les intégrales sont analogues à ceux que nous avons employés pour les corps terminés par des surfaces de révolution, et pour ceux qu’un plan invariable de situation, dans le mouvement, partage en deux parties symétriques. Nous nous bornerons, dans le présent mémoire, à indiquer le dernier de ces moyens, qui nous a paru plus simple ; parce que nous emploîrons une autre méthode pour arriver aux équations du problème.

En effet, si l’on rapporte l’équation de la surface courbe qui termine le corps à trois axes respectivement parallèles aux axes $\mathrm {O} x,\mathrm {O} y,\mathrm {O} z,$ ayant le point $\mathrm {H}$ pour origine, et que l’on considère $z$ comme une constante dans cette équation, à laquelle nous donnerons la forme $z=f(x,y)\,;$ on aura l’équation d’une section du corps parallèle au plan de flottaison ; l’aire de cette section sera une fonction de $z$ qui, multipliée par $\operatorname {d} z,$ sera, l’élément $\operatorname {d} \nu .$ ${\bar {x}}$ et ${\bar {y}}$ seront aussi des fonctions de $z\,;$ donc, en intégrant, depuis $x=0$ jusqu’à $x$ égal à la distance comprise entre le plan de flottaison et un plan qui, lui étant parallèle, soit tangent à la surface courbe