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DES CORPS FLOTTANS.

portée aux nouveaux axes $\mathrm {A} x',\mathrm {A} y',\mathrm {A} z',$ sera, par les formules (4) ; et après avoir changé les signes des coordonnée $x',y',$

$\mathrm {F} \left(-x'\operatorname {Cos} .\psi -y'\operatorname {Sin} .\psi +\alpha ,\quad x'\operatorname {Sin} .\psi -y'\operatorname {Cos} .\psi +\beta ,\quad z\right)=0.$

Prenons deux nouveaux axes rectangulaires des $x'',y'',$ situés dans le plan $\mathrm {ABCD} \,;$ soit $\mathrm {AN}$ l’axe des $x''\,;$ on a (3)

${\begin{aligned}&x'=x''\operatorname {Cos} .\phi -y''\operatorname {Sin} .\phi ,\\&y'=x''\operatorname {Sin} .\phi +y''\operatorname {Cos} .\phi \,;\\\end{aligned}}$

substituant donc et faisant $y''=0,$ on aura, pour la section du corps par le plan dont $\mathrm {AN}$ est la trace, l’équation

$\mathrm {F} \left[-x''\operatorname {Cos} .(\psi -\phi ),\quad x''\operatorname {Sin} .(\psi -\phi ),z\right]=0.$

Au moyen de cette équation, on calculera l’aire de cette section, dans laquelle l’angle $\phi$ entrera comme variable, de sorte qu’en prenant une section consécutive, qui fera avec la première un angle $\mathrm {NAN} '=\operatorname {d} \phi ,$ nous pourrons représenter le volume élémentaire $\operatorname {d} \nu$ par le solide que ces deux sections consécutives détacheront du corps, et auquel on peut donner le nom d’onglet ; volume que l’on calculera rigoureusement par le Théorème de Guldin. $\operatorname {d} \nu$ sera donc de cette forme $\Phi \operatorname {d} \phi ,\ \Phi$ étant considéré comme une fonction de l’angle $\phi .$ On aura donc $\int \operatorname {d} {\dot {\nu }}$ en intégrant $\Phi \operatorname {d} \phi ,$ depuis $\phi =0$ jusqu’à $\phi ={\tfrac {1}{2}}\varpi +\psi +\theta ,$ et en ne retenant, dans l’intégrale, que les termes qui contiennent $\zeta$ et $\theta .$

On obtiendra ${\bar {y}},$ en fonction de l’angle $\phi ,$ en observant d’abord que