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RÉSOLUES.

en exprimant donc que cette équation est identique avec l’équation (2), il viendra

$A=-{\frac {y'\operatorname {d} x'-x'\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} y'}},\qquad B=+{\frac {y'\operatorname {d} x'-x'\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation (3), en supprimant les accents devenus désormais inutiles, on aura, pour l’équation différentielle de la courbe cherchée, en supprimant toutefois le facteur $(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{4}$ évidemment superflu,

$a^{2}b^{2}\left(\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}\right)\left\{\left(a^{2}\operatorname {d} y^{2}+b^{2}\operatorname {d} x^{2}\right)-(y\operatorname {d} x-x\operatorname {d} y)^{2}\right\}$

$=c^{2}\left(a^{2}\operatorname {d} y^{2}+b^{2}\operatorname {d} x^{2}\right)^{2}.\qquad$(5)

Il s’agirait présentement de savoir quel est le plus facile de l’intégration de cette équation ou de l’élimination à laquelle nous avions d’abord réduit le problème.

Mais, de tous les moyens de parvenir au but, le plus brief, s’il n’était en même temps le plus difficile, serait, sans contredit, de deviner, d’après les conditions du problème, la nature de la courbe cherchée, de former une équation hypothétique de cette courbe, dans laquelle on introduirait des coefficiens indéterminés, et d’assigner ensuite les valeurs de ces coefficiens par la considération de divers cas particuliers.

Dans le cas où, par exemple, au lieu d’une courbe donnée, on a deux droites perpendiculaires entre elles ; en considérant, 1.^o que ces deux droites doivent être des diamètres principaux de la courbe cherchée ; 2.^o qu’aux valeurs $x=0,y=0$ doivent répondre respectivement $y=\pm 2c,\ x=\pm 2c,$ ou $\pm {\frac {y}{2c}}=1,\ \pm {\frac {x}{2c}}=1\,;$ on est conduit à soupçonner que l’équation de cette courbe pourrait bien être de la forme

$\left({\frac {x^{2}}{4c^{2}}}\right)^{m}+\left({\frac {y^{2}}{4c^{2}}}\right)^{m}=1\,;$

si l’on remarque ensuite que, pour les valeurs égales de $x$ et de $y,$ on doit avoir $x=y={\frac {c}{\sqrt {2}}}$ d’où ${\frac {x}{2c}}={\frac {y}{2c}}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}$ et ${\frac {x^{2}}{4c^{2}}}={\frac {y^{2}}{4c^{2}}}={\frac {1}{8}},$ on aura