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QUESTIONS

${\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\\\b^{2}x'^{2}+a^{2}y'^{2}=a^{2}b^{2},&{\text{(II)}}\\\\b^{2}x''^{2}+a^{2}y''^{2}=a^{2}b^{2},&{\text{(III)}}\\\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-y'x'')=0&{\text{(IV)}}\\\\\left.{\begin{array}{cr}a^{2}b^{2}(x'y''-y'x'')\left\{(x'-x'')x+(y'-y'')y\right\}&\\\\+(a^{2}-b^{2})(x'-x'')(y'-y'')(b^{2}x'x''+a^{2}y'y'')=0.&\end{array}}\right.&{\text{(V}})\\\end{array}}$

L’élimination entre ces équations ne pouvant être que très-laborieuse, nous passerons de suite au cas du cercle, pour lequel on doit avoir $a=b=r\,;$ les équations sont alors

${\begin{array}{cr}(x'-x'')^{2}+(y'-y'')^{2}=4c^{2},&{\text{(I)}}\\\\x'^{2}+y'^{2}=r^{2},\qquad {\text{(II)}}\qquad x''^{2}+y''^{2}=r^{2}&{\text{(III)}}\\\\(y'-y'')x-(x'-x'')y+(x'y''-y'x'')=0,&{\text{(IV)}}\\\\(x'y''-y'x'')\left\{(x'-x'')x+(y'-y'')y\right\}=0,&{\text{(V)}}\\\end{array}}$

En égalant le premier facteur de la dernière équation à zéro, on aurait

${\frac {y'}{x'}}={\frac {y''}{x''}},$

équation qui, combinée avec les équations (II, III), donnerait $x''=\pm x',y''=\pm y'\,;$ d’où $c=0$ ou $c=r\,;$ la courbe cherchée serait la courbe donnée elle-même, dans le premier cas, et dans le second, elle se réduirait à un point placé à l’origine : ce ne sont donc ici que des solutions particulières, de la nature de celles qui ont été signalées, par M. Poncelet, à la page 229 du présent volume.