et soient les trois cercles cherchés ; les deux cercles devant toucher, au même point les deux cercles devant toucher au même point et les deux cercles devant toucher au même point
Les tangentes communes menées à ces cercles par leurs points de contact concourent, comme l’on sait, en un même point qui est leur centre radical ; de sorte qu’on a ce point est donc aussi (Lemme II) le centre radical des trois cercles donnés : et conséquemment il peut être considéré comme connu, ainsi que les points de contact des tangentes menées de ce point à ces trois cercles ; on connaît donc deux tangentes à chacun des cercles cherchés ; ainsi que leurs points de contact ; on a donc plus qu’il ne faut pour les déterminer complètement.
La construction ne cesserait pas d’être la même si tout ou partie des cercles donnés se réduisaient à des points.
Si l’un des cercles donnés dégénérait en ligne droite (fig. 12), le point serait l’intersection de cette droite avec l’axe radical des deux autres cercles
Si deux des cercles donnés dégénéraient en lignes droites (fig. 13), le point serait l’intersection de ces deux lignes droites, sur lesquelles il faudrait prendre, à partir de ce point, des parties égales à la tangente menée du même point au cercle
Si enfin, les cercles se trouvaient tous trois remplacés par des lignes droites ; ou bien ces droites ne concourraient pas en un même point, auquel cas le problème serait impossible, ou bien elles y concourraient, et alors le problème serait indéterminé, les distances des points de contact au point étant simplement assujetties, dans ce cas, à être égales entre elles.
