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RECHERCHE DES FOYERS

Le foyer ($\alpha ,\beta$) d’une section conique est un point tellement situé que sa distance à un point quelconque de $(x,y)$ de la courbe est une fonction rationnelle et entière des coordonnées de ce point.

En partant de là, je crois qu’on peut exposer, très-simplement et d’une manière générale, la théorie des foyers.

Soit, en effet, l’équation générale du second degré

$ax^{2}+by^{2}+2cxy+2a'x+2b'y+d=0,$

rapportée, pour plus de simplicité, à un système de coordonnées rectangulaires. On aura, d’après cela, pour la distance du point $(\alpha ,\beta )$ au point $(x,y)$

${\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}\,;$

si donc l’on veut que le point $(\alpha ,\beta )$ soit un foyer, on devra avoir

${\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}=gx+hy+k\,;$

et tout se réduira à exprimer que cette équation est identique avec la proposée, ou du moins qu’elle n’en diffère que par un facteur constant $\lambda \,;$ il faudra donc déterminer $\alpha$ et $\beta$ de manière à rendre identique, quels que soient $x$ et $y,$ l’équation

$(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}-(gx+hy+k)^{2}$

$=\lambda \left(ax^{2}+by^{2}+2cxy+2a'x+2b'y+d\right)$

On obtient ainsi, entre les six inconnues $\alpha ,\beta ,g,h,k,\lambda \,;$ les six équations suivantes, en nombre suffisant pour les déterminer

${\begin{alignedat}{2}1-g^{2}&=\lambda a,&-\alpha -kg&=\lambda a',\\1-h^{2}&=\lambda b,&-\beta -kh&=\lambda b',\\-gh&=\lambda c,&\qquad \alpha ^{2}+\beta ^{2}-k^{2}&=\lambda d,\end{alignedat}}$