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RÉSOLUES.

Concevons que, à partir de l’un quelconque, ces points aient été consécutivement numérotés $1,2,3,\ldots z-1,z\,;$ soient $\operatorname {P} _{\zeta -1},\operatorname {P} _{\zeta },$ ceux d’entre eux qui occupent respectivement les rangs $z-1$ et $z\,;$ soient $x_{\zeta -1},y_{\zeta -1},$ les coordonnées du premier ; soient $x_{\zeta },y_{\zeta },$ les coordonnées du second, l’équation de la droite menée de l’origine au point $\operatorname {P} _{\zeta -1}$ sera

$y={\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x\,;$

en conséquence, la partie de l’ordonnée de $P_{\zeta }$ interceptée entre cette droite et l’axe des $x$ sera

${\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }\,;$

il faudra donc que cette longueur, augmentée de $b,$ soit égale à l’ordonnée de $P_{\zeta }\,;$ c’est-à-dire qu’on aura

${\frac {y_{\zeta -1}}{x_{\zeta -1}}}x_{\zeta }+b=y_{\zeta }\,;$

c’est-à-dire,

$y_{\zeta }x_{\zeta -1}-x_{\zeta }y_{\zeta -1}=bx_{\zeta -1}\,;\qquad$(1)

mais si l’on appelle $A$ l’abscisse arbitraire du point $\operatorname {P} _{0},$ on aura

$x_{\zeta -1}=A+(z-1)a,\qquad x_{\zeta }=A+za\,;$

substituant donc ces valeurs dans l’équation (1) ; elle deviendra

$\left[A+(z-1)a\right]y_{\zeta }-\left[A+za\right]y_{\zeta -1}=b\left[A+(z-1)a\right]\,;\qquad$(2)

équations aux différences du premier ordre et du premier degré.

L’intégrale de cette équation est, en désignant par $B$ l’ordonnée qui répond à l’abscisse $A$