Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/314

300

QUESTIONS

la tangente de la différence de deux arcs en fonction des tangentes de chacun d’eux, on a

$\operatorname {Sin} .^{2}\phi ={\frac {(\operatorname {Tang} .\omega -\operatorname {Tang} .\theta )^{2}}{\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\omega \right)\left(1+\operatorname {Tang} .^{2}\theta \right)}}\,;$

il viendra, en vertu des valeurs de $\operatorname {Tang} .\omega$ et $\operatorname {Tang} .\theta$

$\operatorname {Sin} .^{2}\phi ={\frac {(x+fxf'x)^{2}}{\left(1+f'^{2}x\right)\left(x^{2}+f^{2}x\right)}}.$

Désignons, pour abréger, cette dernière fonction de $x$ par $\operatorname {F} x,$ et faisons $x=a+\alpha .$ Si $a$ désigne l’abscisse qui répond au point $A,\ \alpha$ sera une petite quantité, dans l’hypothèse où le corps a été très-peu écarté de sa position d’équilibre ; de sorte que, si l’on développe la fonction $\operatorname {F} (a+\alpha ),$ suivant les puissances ascendantes de $\alpha ,$ au moyen du Théorème de Taylor ; l’équation du mouvement deviendra, en employant les fonctions prime, seconde, tierce, … de la Théorie des fonctions analitiques,

$0={\frac {\operatorname {d} ^{2}\xi }{\operatorname {d} t^{2}}}-g\left(\operatorname {F} a+{\frac {\operatorname {F'} a}{1}}\alpha +{\frac {\operatorname {F''} a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots \right).\qquad$(2)

Cela posé, de la valeur de $\operatorname {Sin} .\phi$ on tirera celle de $\operatorname {Cos} .\phi$ ; et, comme d’ailleurs $\operatorname {Cos} .\phi ={\frac {h+\xi }{GK}},$ il viendra, toutes réductions faites,

$h+\xi ={\frac {xf'x-fx}{\sqrt {1+f'^{2}x}}}.$

Si l’on désigne, pour abréger, le second membre de cette équation par $\Phi x,$ on aura, à cause de $x=a+\alpha$

$h+\xi =\Phi a+{\frac {\Phi 'a}{1}}\alpha +{\frac {\Phi ''a}{1.2}}\alpha ^{2}+\ldots ,$

ou bien simplement