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DES TANGENTES.

$\mu$ étant quelconque ; ces équations représenteront les coordonnées des différens points de la normale, ce qui donne lieu à la construction suivante :

Au point $(x,y),$ on mènera des parallèles respectives aux axes rectangulaires ; et on portera sur ces parallèles, à partir de ce point, des parties proportionnelles à ${\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}}$ et ${\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}\,;$ achevant enfin le rectangle de ces parties, la diagonale qui dans ce rectangle joindra le sommet $(x,y)$ au sommet opposé sera la normale à la courbe.

Soit présentement un point fixe quelconque $(\alpha ,\beta )\,;$ soit $p$ la distance variable de ce point au point $(x,y)\,;$ la courbe pourra être exprimée par une équation de relation entre $p$ et $x\,;$ équation que nous supposerons être

$\phi (p,x)=0.$

On aura donc

$p={\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}}\,;$

de sorte que l’équation de la courbe, en coordonnées rectangulaires sera

$\phi \left[{\sqrt {(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}}},x\right]=\operatorname {F} (x,y)=0,$

on aura donc, pour les équations de la normale,

$X=x+\mu {\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}},\qquad Y=y+\mu {\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}.$

Mais, en remplaçant simplement, pour abréger, $\phi (p,x)$ par $\phi ,$ on trouve

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} (\phi )}{\operatorname {d} x}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} x}},\\&{\frac {\operatorname {dF} }{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} (\phi )}{\operatorname {d} y}}={\frac {\operatorname {d} \phi }{\operatorname {d} p}}{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} y}}\,;\\\end{aligned}}$

et, comme on a d’ailleurs