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CONSTRUCTION

$\mathrm {DA:DX::TA:TV::TX:TY::DX:DF} ,$

$\mathrm {EB:EY::UB:UV::UY:UX::EY:EF} \,;$

d’où on conclura

$\mathrm {DX} =\pm {\sqrt {\mathrm {DA.DF} }},\qquad \mathrm {EF} =\pm {\sqrt {\mathrm {EB.EF} }}\,;$

on pourra donc déterminer les points $\mathrm {X,Y} ,$ et par conséquent la droite $\mathrm {TU,}$ et finalement les tangentes demandées $\mathrm {TV}$ et $\mathrm {UV.}$

À cause des doubles signes de $\mathrm {DX}$ et $\mathrm {EY,}$ ce lemme pourra admettre quatre solutions.

Les préliminaires que nous venons d’établir ne sont pas tous nécessaires, pour l’objet principal que nous avons en vue ; mais nous avons cru n’en devoir rien supprimer, afin de former un ensemble plus symétrique et plus complet. Venons présentement à cet objet principal.

PROBLÈME I. Étant donnés quatre points au périmètre d’une parabole, déterminer tant d’autres points et tant de tangentes à cette courbe qu’on voudra ?

Solution. Par le Lemme 11, on trouvera tant d’autres points de la courbe qu’on voudra ; et, par le Lemme 7 on lui mènera des tangentes par chacun d’eux.

Le problème aura deux solutions au plus.

PROBLÈME II. Étant données quatre tangentes à une parabole, déterminer tant d’autres tangentes à cette courbe et tant de points de son périmètre qu’on voudra ?

Solution. Par le Lemme 12, on trouvera tant d’autres tangentes à la courbe qu’on voudra ; et, par le Lemme 8, on déterminera le point de contact de chacune d’elles.

Le problème n’aura qu’une solution, et pourra se résoudre avec la règle et l’équerre à angle quelconque seulement, sans l’intervention du compas.