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CONSTRUCTION

$\mathrm {OB:OK::OC:OG} ,$

$\mathrm {OK:OA::OD:OG} \,;$

d’où en multipliant par ordre et réduisant

$\mathrm {AB:OA::OC.OD} :{\overline {\mathrm {OG} }}^{2}\,;$

d’où

$\mathrm {OG} =\pm {\sqrt {\frac {\mathrm {OA.OC.OD} }{\mathrm {OB} }}}\,;$

quantité très-facile à construire ; mais, à cause du double signe du radical, ce Lemme aura deux solutions.

LEMME 2. Étant données quatre tangentes à une parabole ; mener, par l’intersection de deux d’entre elles, un diamètre de la courbe ?

Solution. Soient $\mathrm {AB,BC,CL,LA}$ (fig. 4) les quatre tangentes données, et $\mathrm {B}$ le point par lequel il s’agit de mener un diamètre de la courbe.

Par les points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {C} ,$ soient menées des parallèles respectives à $\mathrm {LC}$ et $\mathrm {LA}$ se coupant en $\mathrm {O} \,;$ alors la droite $\mathrm {BO}$ sera (Théor. 4) le diamètre cherché.

Ce Lemme qui, comme l’on voit, n’admet qu’une solution, peut être résolu sans l’intervention du compas. Il n’exige, outre la règle, qu’un instrument à tracer des parallèles, tel qu’une équerre à angles quelconques.

LEMME 3. Étant donnés trois points du périmètre d’une parabole, et une tangente à cette courbe par l’un d’eux ; déterminer la direction commune des diamètres de la parabole ?

Solution. Soient $\mathrm {A,C,D}$ (fig. 11) les points donnés, et soit $\mathrm {AO}$ la tangente donnée, passant par le premier ; et proposons--