En la mettant sous cette nouvelle forme
et remarquant que ces deux membres sont respectivement les expressions des tangentes tabulaires des angles que forment, avec l’axe des , les tangentes en aux courbes (s′) et (s) ; mais prises avec des signes contraires, on en conclura, comme on l’a déjà fait ci-dessus, à l’égard de l’équation (e), que cette équation, en y regardant et comme les coordonnées courantes, et comme constantes, représente un diamètre de la courbe (s), dont le conjugué fait avec l’axe des un angle précisément égal à celui que forme, avec ce même axe, la tangente en de la courbe (s) ; c’est-à-dire, l’intersection de ce diamètre avec la tangente (a) à la courbe réciproque cherchée, qui donne le point de contact de cette tangente avec cette même courbe. Or, quand le point vient à passer à l’infini, sans quitter la courbe (s), le diamètre et la tangente dont il s’agit se confondent évidemment, dans toute leur étendue (XVII) et ne donnent aucun point déterminé d’intersection, appartenant à la courbe cherchée ; ou plutôt donnent, à la fois, pour points d’intersection, tous ceux du diamètre même dont il s’agit. Donc, l’équation finale devant donner à la fois tous les points qui appartiennent simultanément au système des deux équations (a) et (b), elle doit donner aussi tous ceux de ce même diamètre, et renfermer par conséquent l’équation de ce diamètre comme facteur.
XIX. L’interprétation que nous venons de donner du facteur (c), pour le cas particulier de l’exemple qui précède, nous fait voir que, si la même courbe donnée (s), au lieu d’être une section conique, était en général du degré le nombre des points situés à l’infini sur cette courbe étant alors en général il y aurait un même nombre de diamètres de la courbe (s′) qui appartiendraient à la solution analitique du problème ; donc alors l’équation finale
