Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1817-1818, Tome 8.djvu/238

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

228

QUESTIONS

Supposons, en effet, afin de trouver les tangentes dont il s’agit. supposons, dis-je, par l’origine des coordonnées, une droite parallèle à l’une de ces asimptotes, et concourant par conséquent à l’infini avec elle ; cette droite renfermera le point de contact de cette asimptote avec la courbe (s) ; donc les coordonnées, $\alpha$ et $\beta ,$ correspondant à ce point, bien qu’elles soient infinies, n’en conservent pas moins entre elles un rapport fini et donné, lequel est précisément égal à la tangente tabulaire de l’angle que forme avec l’axe des $x$ la droite et l’asimptote dont il s’agit. Si donc, dans l’équation (s) de la courbe, on remplace le rapport ${\tfrac {\beta }{\alpha }}$ par une constante inconnue $k$ ou, ce qui revient au même, si l’on y substitue $k\alpha$ pour $\beta$ ; puis qu’on y suppose ensuite $\alpha$ infini, après avoir préparé convenablement l’équation, on en obtiendra une autre qui donnera précisément les diverses valeurs des tangentes tabulaires cherchées^[1].

En opérant ainsi sur l’équation (5), on obtient

ak^{2}+2bk+c=0\,;

équation qui est absolument de même forme que celle (d), et qui donne par conséquent pour $k$ les mêmes valeurs que celles-ci pour $m$ ; donc, en effet, comme il s’agissait de le prouver, la quantité $m$ de l’équation (e) n’est autre chose que la tangente tabulaire de

↑ Il n’est pas inutile de faire observer que, en suivant la même marche, pour le cas général d’une courbe quelconque, on parviendrait, avec autant de facilité, à trouver les diverses valeurs des tangentes tabulaires des angles formés par les asimptotes sur l’axe des $x$ . On voit de plus que le nombre de ces asimptotes serait, en général, égal à celui qui marque le degré de cette même courbe. Dans le cas où l’équation obtenue aurait des racines égales, les groupes de ces racines correspondraient évidemment aux divers systèmes d’asimptotes parallèles, etc., etc.
En transportant les mêmes considérations dans l’espace, on obtiendrait sans peine l’équation de la surface conique parallèle à la surface développable asimpotique d’une surface donnée. Ces remarques nous seront utiles pour ce qui va suivre.
(Note de l’auteur).

[1] Il n’est pas inutile de faire observer que, en suivant la même marche, pour le cas général d’une courbe quelconque, on parviendrait, avec autant de facilité, à trouver les diverses valeurs des tangentes tabulaires des angles formés par les asimptotes sur l’axe des $x$ . On voit de plus que le nombre de ces asimptotes serait, en général, égal à celui qui marque le degré de cette même courbe. Dans le cas où l’équation obtenue aurait des racines égales, les groupes de ces racines correspondraient évidemment aux divers systèmes d’asimptotes parallèles, etc., etc.
En transportant les mêmes considérations dans l’espace, on obtiendrait sans peine l’équation de la surface conique parallèle à la surface développable asimpotique d’une surface donnée. Ces remarques nous seront utiles pour ce qui va suivre.
(Note de l’auteur).

[1]