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QUESTIONS

Observant que cette équation est décomposable en deux facteurs dont l’un est $D,$ égalant séparément à zéro chacun de ces facteurs, et remettant pour $B$ et $D$ les quantités qu’elles représentent, on aura enfin, pour les équations de solution du problème,

$\left.{\begin{aligned}&\left(c^{2}-cf\right)p^{2}-2(bd-ae)qr\\+&\left(d^{2}-af\right)q^{2}-2(be-cd)pr\\+&\left(b^{2}-ac\right)r^{2}-2(de-bf)pr\\\end{aligned}}\right\}=0.\qquad (s'')$

$cp^{2}-2bpq+aq^{2}=0.\qquad$(c)

La première de ces équations représente évidemment, en général, une section conique ; car les quantités $p,q,r,$ qui n’y entrent qu’au second degré, sont linéaires en $x$ et $y.$ Quant à la seconde, on peut s’assurer, sans beaucoup de peine, qu’elle représente, le système de deux droites. Si l’on y fait en effet

$q=-mp,$

elle deviendra

$am^{2}+2bm+c=0,\qquad$(d)

et donnera par conséquent, pour $m,$ deux valeurs toutes connues, en $a,b,c,$ en les substituant donc dans $q=-mp,$ qui remplace la proposée (c), et y mettant ensuite pour $p$ et $q$ leurs valeurs en $x$ et $y,$ elle deviendra

$b'y+c'x+e'=-m(a'y+b'x+d')\,;\qquad$(e)

équation qui, en y attribuant à $m$ les deux valeurs constantes ci-dessus, représentera évidemment le système de deux lignes droites, comme on l’avait annoncé.

Maintenant, si l’on fait attention que la ligne cherchée ne saurait être une ligne droite que dans des circonstances tout-à-fait particulières, puisqu’elle doit être, en général, l’enveloppe de l’espace parcouru par une autre ligne droite, on en conclura que l’équa-