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RÉSOLUES.

à-dire la courbe cherchée. En y substituant la valeur de ${\frac {\operatorname {d} \beta }{\operatorname {d} \alpha }},$ tirée de l’équation (5), elle pourra prendre cette nouvelle forme

$(b\beta +c\alpha +e)(a'y+b'x+d')-(a\beta +b\alpha +d)(b'y+c'x+e')=0.$ (b)

Le système des équations (a), (b) représentant un point quelconque de l’enveloppe réciproque, quand on attribue à $\alpha$ et $\beta$ des valeurs qui conviennent à l’équation (5), il est visible qu’on obtiendra l’équation même de cette courbe, en éliminant $\alpha$ et $\beta$ entre ces trois équations. En faisant, pour rendre cette élimination plus facile

$a'y+b'x+d'=p,\quad b'y+c'x+e'=q,\quad e'x+d'y+f'=r,$

celles (a) et (b) deviendront respectivement ; en les ordonnant,

$p\beta +q\alpha +r=0,$

$(bp-aq)\beta +(cp-bq)\alpha +ep-dq=0.$

On tire de là

$\alpha =+{\frac {p(dq+br-ep)-aqr}{cp^{2}-2bpq+aq^{2}}},\qquad \beta =-{\frac {q(dq+br-ep)+r(cp-2bq)}{cp^{2}-2bpq+aq^{2}}},$

ou, en faisant de nouveau, pour abréger,

$dq+br-ep=B,\qquad cp^{2}-2bpq+aq^{2}=D,$

$\alpha =+{\frac {pB-aqr}{D}},\qquad \beta =-{\frac {qB+r(cp-2bq)}{D}}.$

Substituant ces expressions à la place de $\alpha$ et $\beta ,$ dans l’équation (s), chassant les dénominateurs, développant en particulier les termes non affectés de $D,$ les ordonnant par rapport à $B,$ observant enfin que l’expression $cp^{2}-2bpq+aq^{2}$ peut être remplacée par $D,$ il viendra

$\left.{\begin{aligned}&B^{2}.D-2brB.D+acr^{2}D\\+&2d\left[r(2bq-cp)-Bq\right]D\\+&2e\left[Bp-aqr\right]D+fD^{2}\\\end{aligned}}\right\}=0.$