le point de contact est, à son tour, le pôle de la tangente est à l’enveloppe ; or, le point d’une droite a nécessairement pour polaire (V) une droite passant par le pôle de la première ; donc la tangente au point de l’enveloppe passe par ce même point ; et, comme la même chose pourrait se démontrer à l’égard de son correspondant il s’ensuit que, par rapport à la section conique enveloppe, considérée en elle-même et indépendamment des deux autres, le point est précisément le pôle de la droite qui leur sert de polaire focale commune.
Maintenant, si l’on se reporte à l’observation d’où l’on est parti, dans le raisonnement qui précède, on pourra en conclure que relativement à la section conique enveloppe, le point est tel que la droite qui passe par ce point, et celle qui joint le pôle de cette dernière au même point, sont perpendiculaires l’une à l’autre, quelle que soit d’ailleurs la droite qu’on ait choisie, en particulier ; or, il n’existe, comme l’on sait, sur le plan d’une section conique donnée, d’autres points que les foyers mêmes de cette courbe qui jouissent d’une semblable propriété[1] ; donc le point est en effet le foyer de l’ellipse enveloppe ; et par conséquent, cette ellipse a ce même foyer et la polaire focale gui lui correspond, en commun, avec les deux autres sections coniques.
La première de ces deux conséquences a été avancée d’une ma-
- ↑ Cette propriété du foyer offre une parfaite analogie avec une propriété bien connue du centre du cercle, et me paraîtrait, pour cette raison, devoir être substituée aux définitions peu naturelles, d’où partent les auteurs de Géométrie analitique, pour parvenir à la détermination de ce point remarquable des sections coniques. Elle présente d’ailleurs l’avantage de permettre d’aborder la question d’une manière-générale, purement algébrique, et de faire parvenir ainsi, dans tous les cas possibles, à la détermination directe de ce foyer. En suivant cette marche, on trouve, qu’il existe quatre points semblables, remplissant
